هو سؤال أجاب عنه العالم الرياضي الإغريقي إقليدس ثلاثة قرون قبل الميلاد بما يمكن التعبير عنه حاليا باللانهاية. فمهما يكن العدد الذي اخترته كبيرا و فلكيا و مهولا فإنك لا محالة ستجد عددا أوليا أكبر منه. و ذلك أمر في غاية العجب، إذ كيف لعدد مكون من آلاف الأرقام و أكثر أن لا يقبل القسمة إلا على نفسه و على واحد !

كيفية تحديدها

المبرهنة الأساسية في الحسابيات

هذه هي المبرهنة التي من أجلها تم إخراج العدد 1 من تعريف الأعداد الأولية و اعتباره عددا من صنف خاص مستقل بذاته. فهو ليس عددا أوليا و لا عددا مركبا. و ليتضح ذلك فالمبرهنة تقول أن كل عدد من الأعداد الصحيحة الطبيعية عدا الصفر و الواحد يمكن كتابته بطريقة وحيدة على شكل جداء أعداد أولية من الأصغر إلى الأكبر. فمثلا العدد 6 يمكن كتابته على شكل 3*2 و لا توجد أية طريقة أخرى لفعل ذلك إلا بتغيير ترتيب العددين الأوليين 2 و 3 و قد قررنا في المبرهنة أننا يجب أن نلتزم بكتابة الأعداد الأولية من الأصغر إلى الأكبر. و تضح هنا فائدة إخراج العدد 1 من المبرهنة. فلو اعتبرناه أوليا لكان بإمكاننا كتابة 6 على شكل 3*2 و 3*2*1 و 3*2*1*1 و 3*2*1*1*1 و هكذا. فيكون لدينا من الطرق لكتابة كل عدد ما لا نهاية له.

و هذه المبرهنة الأساسية تظهر لنا بجلاء كيف أن الأعداد الأولية تدخل في تركيب باقي الأعداد كما تدخل الذرات في تركيب باقي المواد. مما يكسو الأعداد الأولية أهمية كأهمية الجدول الدوري لترتيب العناصر الكيميائية و الفرق بينهما أن عدد العناصر الكيميائية محدود، بينما الأعداد الأولية لا حصر لها.

توزيع الأعداد الأولية

إن توزيع هذه الأعداد الفريدة لأمر عجيب غاية العجب. و لطالما حير العلماء و أثار اندهاشهم و فضولهم منذ القدم، فضلا عن أن يثير اندهاشي شخصيا و ما أنا إلا محب للرياضيات. فقد تأمل العلماء في متتالية الأعداد الأولية 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، ... فلم يجدوا أي طريقة يستدلون بها على العدد الأولي التالي في كل مرة. بل برهنوا أنه لا توجد أية صيغة حدودية ذات معاملات صحيحة أو حتى جذرية يمكنها أن تعطيك دائما عددا أوليا جديدا.

و العجيب في هذه الأعداد أنها تبدو للناظر و كأنها موزعة ضمن مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية بشكل عشوائي متفلت عن كل صيغة سهلة تصفها وصفا دقيقا. و لكنها في نفس الوقت تظهر بعض الانتظام على العموم، فهي كخط مستقيم مرسوم بقلم رصاص إن شاهدته بالعين المجردة عن بعد 25 سنتمترا بدا لك منتظما و دقيقا، و لكنك إن رأيته من خلال مكبرة بدا لك عدم الانتظام في جوانبه و كيف أن به فراغات لا يحكمها أي قانون معروف لدينا.

مبرهنة الأعداد الأولية

و مما يدل عل انتظام الأعداد الأولية على العموم، لا على التفصيل. ما برهن عليه العالمان الرياضيان Hadamard و de la Vallée Poussin في القرن التاسع عشر من أن عدد الأعداد الأولية التي هي أصغر من عدد معين n يكافئ (n/ln(n عندما يؤول n إلى اللانهاية. أي إن الصيغة تصير أكثر دقة كلما كبر العدد n. و الدالة (ln(n يمكن فهمها بشكل مبسط هنا على أنها متناسبة مع عدد الأرقام المكونة للعدد n.

و هذه المبرهنة الهامة المسماة مبرهنة الأعداد الأولية تعبر على أن المسافات بين كل عدد أولي و الذي يليه تزداد شساعة في المتوسط كلما كبرت الأعداد التي ينظر إليها و أن الأعداد الأولية تصير أندر و أندر كلما ذهبنا قدما نحو اللانهاية و يصير احتمال وقوعك عشوائيا على عدد أولي أقرب و أقرب للصفر كلما كان العدد الذي اخترته هائلا.

توائم الأعداد الأولية

و مع أن مبرهنة الأعداد الأولية تشير إلى ندرة الأعداد الأولية في اللانهاية فإن ذلك كما أسلفنا فقط في المتوسط. ذلك أن الأعداد الأولية تظهر سلوكا عشوائيا عندما تراقب عن قرب، و تظهر الانتظام إذا روقبت عن بعد تماما كما يحصل عند مراقبة خط قلم الرصاص. و مما يشير إلى أن شساعة المسافات بين كل عدد أولي و الذي يليه مجرد متوسط إحصائي ما تخبر به حدسية توائم الأعداد الأولية. فهي تقول أنه يوجد عدد غير محدود من توائم الأعداد الأولية، و هي أعداد أولية المسافة بينها 2، كالعددين 5 و 7، و العددين 17 و 19. و هي أصغر مسافة ممكنة بين عددين أوليين باستثناء العددين 2 و 3.

خاتمة

و هذا الافتراض الذي تحمله حدسية التوائم هذه غير مبرهن عليه و لا على ضده إلى يوم الناس هذا و إنما لا زالت الحواسيب تكتشف لنا في كل مرة توائم من هذا القبيل مؤلفة من مئات الآلاف من الأرقام لا يفصل بين كل زوج منها إلا 2، أي إنها تكتب على شكل  a-1 و a+1 فيا للعجب. و سميت هذه الفرضية حدسية لأن أغلب الظن أنها صحيحة، و هو الرأي السائد في المجتمع الرياضي الدولي.  و يوجد من أمثال هذه الحدسية في باب الأعداد الأولية الكثير مما عجز عباقرة العلماء من أمثال ريمان عن حله و ظنوا صحته. إلا أن الظن لا يغني من الحق شيئا، و مهما بلغت قدرة الحواسيب في اختبار مثل هذا النوع من الفرضيات فإنها تبقى عاجزة أمام هول اللانهاية.