مسألة مونتي هول (Monty Hall) من المسائل الرياضية الشهيرة التي تعنى بالاحتمالات و يمكن تصنيفها في خانة السهل الممتنع الذي زلت فيه أقدام النجباء رغم سهولته. المسألة الأصلية تتحدث عن ثلاثة أبواب و سيارة و عنزتين لكنني سوف أزيد الأمر يسرا بأن أطلق سراح العنزتين فتصير المسألة كالآتي:

نص المسألة

أنت في مسابقة و لديك ثلاثة أبواب، خلف أحدها توجد سيارة و خلف البابين الآخرين لا يوجد شيء. يطلب منك مقدم المسابقة أن تختار بابا. و لكنك بعد أن تختاره و قبل أن تعلم إن كانت السيارة خلفه أم لا، يقوم المقدم، الذي يعلم مكان السيارة، بفتح باب من البابين الباقيين و يريك بأن السيارة ليست خلفه.

الآن و لم يبق سوى بابان مغلقان يخيرك المقدم بين التمسك باختيارك الأول أو أن تغيره فتفتح الباب المغلق الآخر. و السؤال هنا: هل يتوجب عليك تغيير اختيارك الأول لتزيد من فرص فتحك للباب الذي خلفه السيارة أم لا ؟

جواب الحدس

الأغلبية الساحقة من الناس، و أنا واحد منهم، عندما يسمعون هذه المسألة للوهلة الأولى يجيبون واثقين: أن تختار بين بابين مغلقين ؟ لديك نصف الحظوظ لتفوز بالسيارة فلا يهم إن غيرت اختيارك أم لم تغيره فالأمر سواء. 

الجواب الصحيح

إن كنت ممن قالوا بنصف الحظوظ فاستعد للمفاجأة: جوابك غلط. و الجواب الصحيح هو أن من صالحك أن تغير اختيارك الأول لأنك بذلك ستضاعف حظوظك بالفوز فيكون معك ثلثا الحظوظ بدل ثلث واحد فقط.

التعليل

قد يبدو الجواب صادما و مضادا للحدس بادئ الرأي، و لكنك إن تريثت و فكرت فيه مليا فستجد أنه صحيح لا غبار عليه، و إليك السبب. أنت عندما اخترت الباب في البداية كانت جميع الأبواب عندك متساوية الحظوظ و عددها ثلاثة، فلا يختلف عاقلان على أن احتمال كون بابك باب السيارة هو الثلث و أن احتمال كون السيارة خلف أحد البابين الباقيين هو الثلثان.

الآن و قد فتح لك المقدم بابا خاليا من البابين الآخرين فإن ذلك لا يغير من كون احتمال وجود السيارة خلف بابك الثلث، و كون وجودها خلف أحد البابين الباقيين، أي خلف الباب المغلق منهما، هو الثلثين. فها أنت ترى أنك بعنادك و إصرارك على عدم التغيير ستحرم نفسك من مضاعفة حظوظك.

اعتراض العباقرة

نحن متفقون على أن التعليل السابق ليس برهانا. و إنما محاولة لتقريب الجواب من حدس المتلقي. المشكلة أن كثيرا جدا من الناس من ذوي الشهادات العليا لا يقتنعون بهذا التفسير و يصرون على أن التغيير من عدمه سواء في الحظوظ. و أنا شخصيا كنت قد جادلت في مجلس واحد ثلاثة من هؤلاء لأكثر من ساعة إثنان منهم مصران على أن الحظوظ مناصفة. و لجعل الأمر أكثر وضوحا غيرت عدد الأبواب فصارت المسألة كالآتي.

المثال الجلي

لنفترض أن الأبواب لم تكن ثلاثة بل ألفا (1000). تسعمائة و تسعة وتسعون (999) بابا خاليا و باب واحد خلفه السيارة المنشودة. تختار في البداية بابا واحدا و بعد ذلك يفتح لك المقدم من التسعمائة و التسعة والتسعين (999) بابا الأخرى تسعمائة و ثمانية وتسعين  (998) بابا خاليا لأنه يعلم مكان السيارة، و لا يترك لك منها إلا بابا واحدا مغلقا فتكون الآن أمام بابين، أحدهما اخترته في البداية و لم يكن لك فيه من حظوظ الفوز بالسيارة إلا جزء من الألف (1/1000)، و باب ثان مغلق كانت حظوظ تواجد السيارة خلفه أو خلف أحد رفاقه التسعمائة و الثمانية و التسعين (998) بابا التي لم تخترها تسعمائة و تسعة وتسعين جزءًا من الألف (999/1000).

فالآن إن غيرت بابك فإنك تضاعف فرصك بالفوز تسعمائة و تسعة و تسعين مرة (999) . و الأمر في هذا المثال جلي واضح لأنك إن أصررت على أن التغيير من عدمه سواء فإنك تفترض أنك باختيارك الباب الأول ابتداء كانت لك فرصة معتبرة بالفوز و الواقع أنك في الأغلبية الساحقة من المرات ما كنت لتضع يدك على باب السيارة من أول اختيار، فالعقل هنا يقتضي أن السيارة موجودة خلف أحد الأبواب الكثيرة التي لم تخترها، و بما أن المقدم كان له من اللطف أو المكر ما جعله يفتحها لك كلها إلا بابا واحدا، فإنك الآن شبه أكيد أن السيارة خلف ذلك الباب الذي تركه لك مغلقا  فعليك به و إياك و العناد و إلا رجعت من هذه المسابقة بخفي حنين .

خاتمة

رغم هذا المثال الواضح، و لو زدت عدد الأبواب فجعلتها ألف ألف باب فلن يزال هناك أشخاص مقتنعين بمناصفة الحظوظ. ذلك أنهم ما زالوا تحت سيطرة حدسهم المخطئ الذي لا يرى أمامه سوى الاختيار بين بابين، و نسي أن بابا منهما تم اختياره عشوائيا بينما تم اختيار الآخر عن علم و دراية بالشكل الذي وصف آنفا فكيف يستويان. و ما هذا إلا مثال للدلالة على أن الحدس خداع و التفكر مطلوب و الأمثلة في ذلك كثيرة في الرياضيات و الفيزياء و غيرهما. و لعلي أن أحدثكم عن مثال آخر في مقال لاحق إن شاء الله.